大学课堂上乌鲁木齐隔热条PA66，数赤诚在黑板上写下：
“找出限，”他说，然后转过身去，连接在黑板上写别的东西，梗概他对谜底依然感到厌倦了。
我代入 x = 1，取得 0/0。我盯着它看。我又次代入 x = 1，此次慢了下来，仿佛要是我仔细地想考，问题就会有不同的谜底。
仍然是0/0。
我傍边阿谁伙——个工程系学生，梗概总能在赤诚授课之前就把扫数常识点皆掌捏了——依然运转写谜底了。我微微凑昔日。他写的是“2”。就个2。莫得谋划经过，莫得解释，就那么静静地写在纸上，梗概它直皆在那里似的。
我那说念题没作念完。下说念肖似的题也没作念完。再下说念也没作念完。
当你次战争微积分限时，没东说念主会告诉你：0/0 并不是错的。这仅仅数学在说它需要多信息。它被称为不定式，听起来像术语，但施行上仅仅意味着——咱们还法确信。这个分数处于种叠加态，在你提议正确的问题之前，它拒确信个值。
事实证据，正确的问题与数干系。但我有点跑题了。
买下别东说念主数学书的法国东说念主
17世纪有位名叫洛达的法国贵族，他既有满盈的钱，又有满盈的求学欲去礼聘位私东说念主数学教师。
这位师是约翰·伯努利，他是其时有才华的数学之，但据扫数历史记录，他亦然难相处的东说念主之。他才华横溢，况兼他对此知，这让每个东说念主皆感到不巩固。
洛达向伯努利支付薪水。行为报恩，伯努利首肯只与洛达共享他的数学发现，洛达不错平缓发表这些发现。这施行上是种17世纪的捉刀。
自后果即是洛达于1696年出书的教科书——史上本微积分教科书——其中就包含了咱们今天照料的这条文章。伯努利余生皆在颓落这条文章是他的，公说念地说，确乎是他的。但历史却不听他的。
我发现这种事搅扰地令东说念主感到安危。就连数学常识的开首亦然零乱的、东说念主为的乌鲁木齐隔热条PA66，况兼有点不公说念。并非独一学生才会在包摄问题上遭遇艰难。
洛达法例
是以，洛达发表的（以及伯努利发现的）是这么的：
要是将个数代入分数，取得 0/0，则别离对分子和分母求（不要使用商的法例），然后再尝试代入该数。
这就是一起规章。
我次听到这种解释时，的确认为解释的东说念主漏掉了什么。确信还有多。确信有什么条目、宝贵事项或者长串代数措施荫藏在其中。
让咱们回到阿谁在冰冷的教室里难倒我的问题上来。
(x² — 1) / (x — 1)
代入 x = 1，取得 0/0。很好。当今：
x² - 1 的数是2x
新分数：2x / 1，即2x。
代入 x = 1：2 × 1 = 2。
限是 2。在我还没看完题目之前，那位工程系学生就依然写下了这个谜底。
它为什么有？（真实解释）
大无数教科书皆用方式化的ε-δ证据来解释这点乌鲁木齐隔热条PA66，从时间上讲，这些证据是正确的，但关于开采直观来说却没灵验处。
我终是这么看待这个问题的。
当个分数的分子和分母同期趋近于时，塑料挤出机设备分数的终值取决于它们各自趋近于的速率。要是分子比分母快地趋近于，那么扫数这个词分数终会变得很小。要是分母快地趋近于，那么分数终会变得很大。要是它们趋近于的速率苟简换取，那么分数终会取个中间值。
数恰是用来量度变化率、速率和斜率的。是以，当你对这两个部分皆求时，你施行上是在问：在这个特定点隔壁，哪个函数变化得快，以及快若干？
我老是会用跑步者的比方，即使我知说念这个比方并不精准。两个东说念主同期向止境线跑去。你不在乎他们从那里起跑，你只和蔼后冲刺阶段谁跑得快。数就像是后冲刺阶段的速率表。
要是你过度解读这个比方，它就站不住脚了。这仅仅种嗅觉，并非可信的笔据。
旦你运转钟情，就会发现这个罢休处不在：
当 x 趋近于 0 时，sin(x) / x
手机：18631662662（同微信号）代入：sin(0)/0 = 0/0。不确信。
我以前“知说念”这个扫尾——它等于1——因为我的中赤诚在黑板上画了个单元圆，并用几何法证据了这个论断。我表示那幅图，但我法向别东说念主解释了了。
sin(x) 的数：cos(x)
x 的数：1
代入 x = 0：cos(0) = 1。
几何证据很好意思，我很运道它存在。但这个呢？这个我不错在考试前晚11点，无谓看图也能把它出来。
什么时候适用
这条文章只适用于两种情况：
每位微积分赤诚皆会把这句话写在黑板上。但大无数赤诚皆不会解释它到底是什么敬爱。
0/0 — 盘曲限皆变为。
∞/∞ — 顶部和底部皆彭胀到穷大。
要是你取得 5/0，那不是不确信，而是穷大（或者说函数在该值处不存在）。要是你取得 3/7，恭喜你，你依然取得谜底了，请不要再进行不要的微分运算了。
随机，个欺诈尺度还不够。举例：
代入 0：0/0。欺诈次规章：取得 sin(x) / 2x。再次代入 0：仍然是 0/0。再次欺诈规章：cos(x) / 2。代入 0：1/2。
这条文章不错轮回使用。直通常直到取得个实数。随机需要三轮。我也曾看到份估计生功课，有东说念主用了六次。我不知说念这个故事是否属实，但我从未曾教师证过。
我实在想让你记着的是
我曾因为限的主见而寡言地愁肠了个学期，直到有东说念主终于在惩办我遭遇的个难题的语境中向我展示了这条文章。不是行为章节里的个主题，也不是行为教科书里的定理，而是——来，试试用这条文章惩办你当今遭遇的难题。
它篡改了我对微积分的看法。并非因为那条文章有何等神奇，而是因为它揭示了我之前未曾表示的东西：微积分是系列用具的集，每种用具皆针对特定情况而瞎想，在这些情况下，不言而谕的法会失。要道不在于记着这些用具，而在于学会识别你所处的具体情况。
0/0 是种情况。当今你知说念这个用具了。
前还有辣手的情况——比如限是 0 × ∞、∞ — ∞ 或 1^∞——在洛达法例推崇作用之前，需要进行些代数变换。但直观是样的。当数学法解答你的问题时，不要霸道。你应该问：这是什么情况？应该问什么问题？
大无数情况下，皆会有谜底。仅仅需要花点时辰找到它。
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